素数定理简史（二）

发表于2020-05-30，长度2613， 93个单词， 7分钟读完

我们已经了解了素数定理的内容和由来。尽管素数定理的获得实际上经历了无数数学家们的辛勤努力，但是却少有人名被记录下来。因为不像爱因斯坦独自发现广义论，或杨振宁带领一个博士生就创立杨米尔斯理论，素数定理是经过太多数学家的合理总结出来的。不过如果要选数学家的名字记录下来，高斯一定是第一个。

高斯和勒让德

高斯（1777-1855）有一个称号是“数学王子”，关于他有一个广为人知的传说就是将1累加到100的和：这个传说多数数学家都愿意认为它是真的。

高斯也一直在研究素数，不过他本人不喜欢发表东西，关于素数的研究成果也只是和友人们聊聊。这有点类似于牛顿发明了微积分却没有公布，等到莱布尼茨发表后追悔莫及。

数学家勒让德1806年发表了他研究的最小二乘法，之后1809年出版的一本书中高斯提到自己1794年就找到了这种方法。虽然有大量文字材料能证明高斯没说谎，但是勒让德还是大发雷霆（不过比不上牛顿对莱布尼茨那样）。主要原因就是高斯没有发表他的发现。

1849年高斯在给天文学家恩克的信中（高斯自1807年底到哥根廷大学任天文台负责人，直到离世）说：

...使我想起我自已在同一个课题上的工作，这在很久以前就开始了，那是1792或1793年...。我最初做的事情之一是把我的注意力集中在不断降低的素数分布率上，为此我计算了几个一千中的素数分布,并把结果记在所附的白页上。我很快就发觉，尽管有波动起伏,但这个分布率平均地接近于其对数的倒数...。.我经常(因为我没有耐心在这方面做持续的计
算)在这里或那里用空闲的一刻钟计算另一个一千;但是我最后在快要做到一百万时放弃了。

后人数学家们在看到这封信是被震惊了：1792年高斯才15岁，当时连计算器都没有，仅有的数学工具是829以内的素数表，高斯就用纸和笔计算了接近100万以内的全部素数。其他数学家有人做了尝试，很快就放弃了：太痛苦了！而高斯仅仅是在消遣“一刻钟”！当然最优价值的部分是他在信中明确提到他发现了后人称为的素数定理。

更神奇的是，公认的第一部公开发表了素数定理的数学家是勒让德。1798年勒让德在他的书中提到了：

\[\pi(x)\sim \frac{x}{A \ln x+B}\]

后来改进为

\[\pi(x)\sim \frac{x}{ \ln x - A}, A \approx 1.08366\]

多年以后高斯给恩克的信中也讨论了勒让德这个结论，他认为1.08366是不对的，不过没给出自己的值。

如果勒让德还活着并且看到了这封信，一定会再次火冒三丈，估计杀了高斯的心都有了

欧拉

瑞士数学家欧拉是前无古人后无来者的数学大家，他晚年失明；但是对于很复杂的问题他心算的速度都比别人使用纸笔要快。欧拉是唯一一位有两个常数用他命名的数学家，一个是自然对数的低e = 2.71828…（e就是他名字的首字母），另一个是欧拉常数γ = 0.57721…（调和级数的和与自然对数对应项的差值收敛于欧拉常数，神奇不神奇）: \(\gamma = \lim_{n\rightarrow \infty }[(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})-\ln n]\)

欧拉（1707-1783）一生过得很艰难，常年被军警监控；30岁左眼失明，60岁全盲；13个孩子只有5个活到成年，其中还有2个比欧拉死的早；69岁时妻子去世，一年后他娶了妻子的妹妹

欧拉的第一个伟大贡献是巴塞尔级数：

\[1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots\]

这个级数是调和级数每一项的平方和。它收敛吗？

数学家们观察了很久，认为它收敛在1.644和1.645之间。但是具体值是多少，当时提出了悬赏（免费的），看谁能找到它的具体值。1735年，这个问题公布46年后，欧拉给出了答案： \(\frac{\pi^2}{6}\)

这个答案让当时所有的数学家吃了一惊：为什么会出现π，这里又没有圆，这个问题又不是一个几何问题：π来这个干什么？

现在已经有很多级数的结果都是和π相关的，比如https://wenku.baidu.com/view/0a8cfd00a6c30c2259019e95.html?re=view#opennewwindow

更进一步，当时欧拉给出了调和级数项的指数是偶数的所有级数和（不一定以具体的形式）：

\[1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots = \frac{\pi^4}{90}\] \[1+\frac{1}{2^6}+\frac{1}{3^6}+\frac{1}{4^6}+\cdots = \frac{\pi^6}{945}\]

欧拉自己一直计算到了指数是26的级数和：

\[1+\frac{1}{2^26}+\frac{1}{3^26}+\frac{1}{4^26}+\cdots = \frac{1315862 \pi^{26}}{11094481976030578125}\]

当指数是奇数时欧拉不知道结果是什么，一直到1978年科学家才证明奇数次幂的级数和是无理数。调和级数和超调和级数统称p级数，更多可以了解https://baike.baidu.com/item/p%E7%BA%A7%E6%95%B0

但是这和素数有什么关系？这个要通过后面要说的黎曼猜想关联起来。

狄利克雷

狄利克雷是黎曼的老师，他的贡献之一是证明了一个高斯的猜想：对于任意的无穷等差数列，如果首项和公差都是整数（这个简单，高中就学了），而且它们互质，那么这个数列包含无穷多素数。

后来人们发现了与这个定理相关的更有趣的现象：随便找一个正整数（比如9），找出比它小的全部互质的数（9的互质数有1，2，，4，5，7，8）。用9做首项，分别用这些互质数做公差构造数列（得到6个数列）。则这些数列内有相同的素数分布。当到达N时，N以内分布在数列上的素数个数是 \(\frac{1}{6} \frac{N}{\ln N}\)

狄利克雷当时对高斯的《算术研究》非常有兴趣。后来他听说了欧拉研究的巴塞尔级数的结论，觉得它们似乎可以放一起研究。