素数定理简史（三）

发表于2020-06-01，长度3084， 184个单词， 8分钟读完

黎曼是狄利克雷的弟子，他的博士生导师是高斯，他在自己的文章中表达过过对高斯和狄利克雷比较推崇。

高斯于1855年离世，4年后狄利克雷去世。两位最尊敬的老师在这么短时间内先后去世，不得不说黎曼是受到严重打击的。而在这4年间，黎曼的父母、姐妹、老婆也都先后去世，更让黎曼觉得世事孤独。1866年（狄利克雷去世7年后）黎曼离世时还不到40岁。

黎曼级数也是p级数，只不过由于习惯，大家常把自变量使用s表示： \(\zeta(s) = \sum n^{-s}\)

前面也知道，当s大于1时级数收敛。下面是前几个级数和：

N	前12位级数和
1	发散
2	1.644934066848
3	1.202056903159
4	1.082323233711
5	1.036927755143
6	1.017343061984

黎曼主要考虑的自变量连续的情况，而不是前面我们看到的几个离散整数值。当s>1时，黎曼函数的图像有点像第一象限的反比例函数：自变量越大，值无限接近1；自变量从右侧接近1，值会无限大。

其他区域呢？当s=1时就是调和级数，发散；当s=0呢，是所有项都是1，明显也发散。s=1/2时，是所有自然数算术平方根的倒数和： \(\zeta(\frac{1}{2})=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\) 所以也发散。负数呢？比如-1： \(\zeta(-1)=1+2+3+\cdot\) 全体自然数的和，也发散。

可能有人会说：全体自然数的和哪里发散了，不是-1/12吗 o(╥﹏╥)o

可能还有人说：黎曼函数的定义域不是0到1吗，为什么反而大于1的时候有值，小于1没有值呢…

欧拉积公式

现在我们对黎曼函数做一些处理：从第一个素数2开始，给黎曼函数两边乘以以素数做底、自变量做指数的倒数：

\[\frac{1}{2^s}\zeta(s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s}+\cdots\]

得到了原式中的全部偶数项。现在用原式减去它得到全部奇数项：

\[\zeta(s) - \frac{1}{2^s}\zeta(s) \\=\underline{ (1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)= 1+ \frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s}+\cdots }\]

接下来使用第二个素数3的指数去乘上式（刚才用的2的指数）：

\[\frac{1}{3^s}(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)= \frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s}+ \frac{1}{21^s}+\cdots\]

继续用原式减去这个结果，得到所有不是2或3的倍数的项：

\[(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)-\frac{1}{3^s}(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)\\= \underline{ (1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s) =1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+\cdots }\]

接下来用同样的方法把5的倍数的项也去掉，两边都乘5的指数：

\[\frac{1}{5^s}(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)= \frac{1}{5^s}+\frac{1}{35^s}+\frac{1}{55^s} + \frac{1}{65^s}+\frac{1}{85^s}+\cdots\]

上下相减，得到所有不是2、3、5的倍数的项：

\[\underline{ (1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)= 1+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+\cdots }\]

大家已经应该能非常清晰的看明白这个过程了：就是用埃拉托色尼筛法把前面任意项素数干掉。比如我们一直处理到素数997：

\[(1-\frac{1}{997^s})(1-\frac{1}{991^s})\cdots(1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)\\= 1+\frac{1}{1009^s}+\frac{1}{1013^s} + \frac{1}{1019^s}+\frac{1}{1021^s}+\cdots\]

如果自变量s是大于1的，那上式的值就是略大于1的一个数。比如s=3时值是1.00000006731036081534…所以是不是有可能当上面筛的过程足够长（无限长）就能得到

\[\cdots(1-\frac{1}{11^s})(1-\frac{1}{7^s})(1-\frac{1}{5^s})(1-\frac{1}{3^s})(1-\frac{1}{2^s})\zeta(s)=1\]

因为左边每乘一项，右边就少一项（实际少的是一个素数和一些合数），一直搞下去右边1以外的项都到左边了。

现在把左边黎曼函数的系数移项到右边：

\[\zeta(s)=\frac{1}{1-\frac{1}{2^s}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{3^s}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{5^s}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{7^s}}\times\frac{1}{1-\frac{1}{11^s}}\times \cdots\]

也就是说，我们有：

\[\sum n^{-s} =\prod_p (1-p^{-s})^{-1}\]

其中，n是全体自然数，p是全体素数。